Teoria potoków ruchu Janusz Woch

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.nkoniec paragrafu 6).Załóżmy, że w określonym momencie t (ze względu na zakładaną jednorodnośćprocesu wybór momentu t nie odgrywa roli) jest K(t ) = j, j e" 0.Jakie jestprawdopodobieństwo, że wartość ta pozostanie niezmienna w całym przedziale (t , t + �*# ,� e" 0?Prawdopodobieństwo to - oznaczmy je przez �j(�) - jest oczywiście niezależne od t(proces jest jednorodny) ani od wcześniejszego przebiegu procesu do momentu t (jest toproces Markowa).Dla � = 0 naturalne jest przyjąć �j(0) = 1; ze wzrostem � funkcja �j(�)może jedynie maleć, a przy tym zawsze �j(�) d" pjj(�).Z tego, że mamy do czynienia zprocesem Markowa, wynika także związek� (�1 +� )= �(�1)�(� ) (2.3.9)j 2 2dla wszystkich �1 e" 0, �2 e" 0.Na podstawie przyjętych założeń można już udowodnić(podobnie jak w przypadku funkcji r0(t) w paragrafie 5), że funkcja �j(�) ma postać� � = exp -�q , � e" 0 , (2.3.10)( )( )j jgdzie qj jest dodatnią stałą (15 Przypadki gdy �j(�) = 0 dla wszystkich � e" 0 (to znaczy qj = 0)albo gdy �j(�) = 0 dla wszystkich � > 0 (wtedy byłoby qj = "), z praktycznego punktuTPR2-49122.Uogólniony typ procesu stochastycznegowidzenia nie są interesujące).Zgodnie z przyjętą terminologią, liczby q , j = 0, 1,.,nazywamy intensywnościami wyjścia.Czas, przez który proces zachowa niezmiennie wartość K(t )=j, ma więc rozkładwykładniczy z parametrem qj.Rozumowanie podobne jak w paragrafie 5 doprowadzi nas downiosku, że także zmienne losowe �n, n = 0, 1,., mają wykładnicze rozkładyprawdopodobieństwa, teraz jednak z różnymi parametrami qxn , zależnymi zawsze odaktualnej wartości kn procesu K(t).Podobną sytuację spotkaliśmy już w paragrafie 2.2: także w procesie Poissonadługości odstępów czasowych między momentami zmian obserwowanej funkcji N(t) miałyrozkład wykładniczy.Zgodność ta nie jest przypadkowa: wkrótce się przekonamy, że(jednorodny) proces Poissona jest także (jednorodnym) procesem Markowa w sensie naszychobecnych definicji.W procesie tym dla dowolnego � e" 0 i dla 0 d" j d" i jesti- jp (� )= e-�� (�� ) (i - j)!.(2.3.11)jiW szczególności,pjj � = � � = e-�� ;( ) ( )jnatomiast dla k 0 dla wszystkichi, j = 0,1,., M (por.str.54, gdzie sformułowane jest podobne twierdzenie dla łańcuchówMarkowa).Podobnie, niezależne od i granice (2.3.21) istnieją także dla tak zwanych procesównarodzin i śmierci (22Są to procesy Markowa, dla których jest qij>0 jedynie wtedy, gdyi - j = 1, a pozostałe qij są zerami.) jeśli spełnione jest proste założenie gwarantujące, że nie*dla wszystkich j będzie pij = 0 (por.następny, str.82).TPR2-57122.Uogólniony typ procesu stochastycznego*Jeżeli granice (2.3.21) istnieją i są niezależne od i ( pij = p* ), to z (2.3.7) dlajdowolnego � e" 0 i � �! " dostaniemy równania"*p* = pk pkj � ; (2.3.22)( )j "k =0do identycznych równań dojdziemy również z (2.3.8) przy t �! " , więc także lim pi (t) = pi*.t�!"Jeśli w końcu podstawimy w (2.3.8) stałe p* zamiast pj (t), to przekonamy się że granicejp*j(j = 0, 1,.) dają właśnie stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa procesu (por.znowuparagraf 7).Wezmiemy następnie równania (2.3.16) i przejdziemy do granicy przy � �! ".Dlawszystkich i, j = 0, 1,., dostaniemy"'lim pij (� )= -qi p* + qi p* = 0.j j "qil� �!"l=0Zgodnie z (8.15) mamy następnie przy � �! ""*0 = -q p* + qlj pl , j = 0,1,.(2.3.23)j j "qll =0Jednakowe prawe strony dostaniemy także z równań (2.3.17) przy t �! ".W granicy, gdyt �! ", pochodne wszystkich funkcji pij (t), pi (t) są równe zeru.Graniczneprawdopodobieństwa pi* na ogół obliczamy właśnie rozwiązując układ równań (2.3.23).Przykłady takiego postępowania zaobserwujemy w następnym rozdziale.Na zakończenie niniejszego paragrafu wspomnimy jeszcze o niejednorodnychprocesach Markowa, w których prawdopodobieństwa pij (t,� ) zależą także od t.Zakładającistnienie granic1 - pij t,� p (t,� )( )jilim = q t , lim = q (t)q (t) dla j `" i , (2.3.24)( )j j ji� �!0 � �!0� �TPR2-58122.Uogólniony typ procesu stochastycznego(por.(2.3.12) i (2.3.14) - tutaj intensywności są funkcjami argumentu t) - możemy także dlaniejednorodnego procesu ułożyć równania różniczkowe Kołmogorowa.Stosując zwykłepostępowanie dostaniemy z (2.3.4) teraz zamiast (2.3.15) równania"pij (t,� )= pij (t,� )q (t + � )+ pi (t,� )qi (t + � )qij (t + � ).(2.3.25)j ""�i`" jDla uzyskania równań odpowiadających (2.3.16) w przypadku niejednorodnym wygodniejjest wyrazić prawdopodobieństwa ( pij (t,� ) jako funkcje argumentów t i t + �.W końcuzamiast (2.3.17) dla procesu niejednorodnego dostaniemy analogicznie z (2.3.5) równania'pk = - pk (t)qk (t)+ p (t)q (t)q (t), (2.3.26)" j j jkj`"króżniące się od (2.3.17) tylko tym, że stałe intensywności są teraz zastąpione funkcjamizależnymi od t.Były również badane także warunki istnienia i jednoznaczności rozwiązańrównań (2.3 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

ebook; download; pobieranie; pdf; do ÂściÂągnięcia

Menu